La paradoja de Monthy Hall
Los más viejos del lugar, que creo que somos bastantes, recordarán un concurso de la tele que se llamaba «1,2,3.. responda otra vez». En la fase final de este concurso, había un juego que rememoraba al concurso «Let’s make a deal» americano, en el que había que elegir un regalo oculto detrás de una de 3 puertas posibles. En una de ellas había un coche, y en las otras dos, un premio menor. Si estáis hartos de comilonas navideñas y os apetece desengrasar las neuronas un rato, seguid leyendo, que el asunto tiene más miga de lo que parece.
La dinámica era la siguiente. El concursante elegía una de las tres puertas. A continuación, la presentadora, que sabía perfectamente dónde estaba el coche, abría una de las dos puertas que no habían sido elegidas, mostrando deliberadamente uno de los premios menores. Y entonces llegaba la pregunta clave: ¿quieres cambiar tu elección o prefieres quedarte con la puerta que escogiste al principio? La reacción habitual de muchos concursantes era no cambiar. Pensaban que si la presentadora les estaba tentando era porque habían acertado, y que todo formaba parte de una pequeña trampa psicológica para que acabaran llevándose la calabaza.
Aquí es donde entran en juego las matemáticas, que tienen la mala costumbre de estropear las buenas intuiciones. Este problema es tan famoso que tiene nombre propio: la paradoja de Monty Hall, el presentador del concurso original estadounidense. Y lo que dice es exactamente lo contrario de lo que suele pensar la mayoría: cambiar de puerta duplica tus probabilidades de ganar el coche. Contraintuitivo, sí, pero cierto.
El razonamiento que suele hacer casi todo el mundo es este: al principio tienes una probabilidad de 1/3 de haber elegido el coche. Hasta ahí, sin discusión. Una vez que la presentadora abre una puerta sin premio, quedan dos puertas cerradas, así que cada una debería tener un 50 % de probabilidades. Fin de la historia. Este razonamiento se puede representar fácilmente en una tabla donde se enumeran todas las combinaciones posibles, en la que marcamos en verde la opcion elegida en primera instancia, y en rojo la puerta que abre la presentadora. Y efectivamente, parece que tanto cambiar como no cambiar llevan a un 50 % de éxito. Si cambias, te llevas el premio en 6 de las 12 posibilidades. Y si no lo haces, en otras 6. El problema es que esa tabla, aunque tentadora, está mal planteada.
¿Dónde está el error? En que en el caso de haber acertado en la primera elección, estamos tratando como dos opciones con el mismo peso el que la presentadora abra una u otra puerta con la calabaza, cuando realmente se trata de un mismo caso.
Lo importante no es qué puerta abre la presentadora, porque eso no aporta información relevante adicional: siempre va a abrir una con premio menor. Lo único que realmente define el escenario es la elección inicial del concursante. Y esa elección solo puede caer en tres casos posibles: has elegido la puerta A, la B o la C, que conjuntamente con las 3 posibles ubicaciones del coche, nos da 9 casos posibles. Y la tabla correcta sería esta:
Y como véis, si cambia tiene 6 casos de 9 posibles de ganar, mientras que si se mantiene en su elección inicial tiene solo 3 de 9.
Así que ya sabéis: si algún día resucita el concurso, o si os encontráis en una situación parecida, la estrategia ganadora es cambiar. Y si gracias a este consejo acabáis llevándoos el coche, no hace falta que me deis las gracias… con un buen jamón voy servido.
Alexis
26/12/25 04:24
Creo recordar que este tema ya salió en algún lugar de por aquí. No recuerdo si en alguna conversación en el Off Topic o donde fuera, ya hace unos años… Sí. Básicamente, por resumirlo en otras palabras, se trata de que cuando ya se descarta una opción «mala» (pero sólo después de la primera decisión), conviene cambiar. Y conviene cambiar porque aquella primera decisión ya venía condicionada por conllevar más probabilidades de haberse equivocado que de haber acertado… Si es más probable haberse equivocado de entrada, es más probable acertar si se rectifica esa primera decisión, aprovechando ya el posterior descarte de una de las opciones «malas».
¡Hombre! Infalible tampoco será. Siempre puede resultar que se haya acertado a la primera. Simplemente se trata de ir lo más a favor posible de las probabilidades y la estadística.
Es eso ¿no?… Yo es que sólo quería demostrar que lo he pillado.
Saludos.
lamentira
26/12/25 10:57
@ Alexis:
Si, eso es. Al descartar una de las opciones malas, la probabilídad de las dos puertas que no eligió el concursante se concentran en una, y por tanto tienes dos opciones, una con un tercio de probabilidades y otra con dos tercios.
Kurrupypy
26/12/25 15:31
Esto ya lo conocía. Las matemáticas son fascinantes.
Lo que ocurre es que lo he planteado algunas veces a otras personas, pero nunca he sabido explicar bien el razonamiento; simplemente les remitía a pensar en todas las opciones para que comprobasen que, efectivamente, es más conveniente cambiar. Porque yo había visto una tabla como esa por ahí en la Red
¿La explicación para la próxima vez
(basándome en lo dicho por Alexis) podría ser la siguiente?:
Cuando eliges de primeras, el coche es más probable que esté en el otro par de puertas. El enseñar cualquiera de las dos con premio malo (ESTO SIEMPRE LO VA A PODER HACER), NO CAMBIA ESAS PROBABILIDADES INICIALES, por tanto, será más probable que esté en la puerta contraria a la elegida
Hay problemas de probabilidad, sobretodo, que confunden y sorprenden bastante
Ahora que estamos en Navidad, otro ejemplo con la lotería:
Yo compro un décimo. Recordemos que hay 100000 números. Se realiza el sorteo y yo no sé aún en qué número ha salido el gordo.
Una persona descarta 99998 números que no han sido agraciados con el gordo, y deja sólo dos números como posibles ganadores del gordo. Uno de ellos es el mío. ¿Cuál es la probabilidad de que me haya tocado el gordo?
La intuición me dice que el 50%, pero…
El realidad, el razonamiento es el mismo que el de Monty Hall
Kurrupypy
26/12/25 15:55
Bonus track:
Estamos en una fiesta. ¿Cuántas personas son necesarias para que haya un 50% de probabilidad de que al menos dos cumplan los años el mismo día?
Lo dicho, fascinantes y sorprendentes
Kurrupypy
26/12/25 16:03
Bueno, se me olvidó añadir, ¿y para que haya prácticamente un 100% de probabilidades de coincidencia?
r.
26/12/25 16:57
No deja de ser estadística. Es otro caso en el que las reglas cambian a mitad del cálculo, igual al caso de los tres amigos que no tienen cambio para pagar en el bar. Y sí, el juego puede tener tantas puertas como se quiera.
Alexis
27/12/25 04:12
lamentira dijo:
Lo cual, aunque en realidad no haga falta remachar más el tema, me sugiere aún otra forma de plantear la explicación: No importa que te enseñen o no te enseñen qué puerta de las no elegidas tiene un premio «malo». Tú ya sabes que al menos en una habrá un premio «malo». En realidad es como si te dijeran «ahora puedes quedarte únicamente con lo que haya en la puerta elegida, o bien cambiarlo por lo que haya en cualquiera de las otras dos (no importa cuál)». Y así resulta que estás eligiendo entre lo que haya sólo en una y lo que haya en dos…
@ Kurrupypy:
Como ya di a entender, este es que ya me lo sabía. Pero soy muy malo para resolver yo por mí mismo. Los que planteas tú ya me dejan bloqueado. Espero que aportes solución o explcación también a estos, si no lo hace nadie más antes.
Saludos.
Kurrupypy
1/01/26 12:45
Alexis dijo:
Ah, vale, hasta hoy no lo vi
El de los números de la lotería viene a ser lo mismo.
Cuando tú compras el boleto LA SUERTE YA ESTÁ ECHADA. Tus probabilidades de ganar son de 0,00001, o lo que es lo mismo un 0.001% de probabilidades.
Se realiza el sorteo. La otra persona QUE YA SABE EN QUÉ NÚMERO HA TOCADO EL GORDO, descarta 99998 números no premiados (COSA QUE SIEMPRE, EN CUALQUIER CASO, PODRÁ HACER) y se queda dos como posibles ganadores, entre los que se encuentra el tuyo
Todo lo del párrafo anterior, NO VA A MODIFICAR LAS PROBABILIDADES REALES E INICIALES DE QUE TU NÚMERO SEA EL DEL GORDO; EL SORTEO YA SE HABÍA REALIZADO; juega con la ventaja de saber en qué número ha tocado. Así que, tú número seguirá teniendo un 0.001% de ser el gordo, mientras que el otro tendrá un 99.999% de serlo
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En cuanto al de la coincidencia de cumpleaños, el «»truco»» está, COMO SIEMPRE EN LOS PROBLEMAS DE PROBABILIDAD, en leer y entender muy bien QUÉ ME PIDE EXACTAMENTE EL PROBLEMA para que la intuición no me la juegue
Y es que, en principio, la intuición aquí te dice que, bueno, como son 365 días (obviando bisiestos) o probabilidades, entonces la probabilidad de que dos personas coincidan es de 1/365. Y eso lo extrapolamos para calcular cuántas personas son necesarias para que haya un % determinado de coincidencia. Por ejemplo, para que haya un 100% pensaríamos que debería haber ¿365? personas.
Sin embargo, el problema no me está diciendo que una persona determinada deba coincidir con otra persona determinada. Eso sí sería lo que nos dice la intuición (1/365). El problema te dice que HAYA DOS PERSONAS CUALESQUIERA EN LA FIESTA QUE COINCIDAN, ES DECIR, CADA FECHA DE CADA PERSONA SE COMPARA CON TODAS LAS DE LOS DEMÁS.Y esto hace aumentar mucho las probabilidades de coincidencia conforme aumenta el número de personas.
Para un 50% de coincidencia bastaría con que hubiera 23 personas
Para un prácticamente 100% de coincidencia bastaría con que hubiera 57 personas
Alexis
3/01/26 04:08
@ Kurrupypy:
Gracias… Ya veo que el asunto de la lotería viene a ser lo mismo que el de las tres puertas. Sólo que a primera vista se antoja, engañosamente, así como más ominoso…
Sin embargo, me temo que no acabo de ver lo de las coincidencias de cumpleaños. Intento vislumbrarlo, siguiendo tus explicaciones, pero me sigue interfiriendo la sensación (y ya digo «sensación») de que las 57 personas a las que atribuyes ya un 100% de probabilidades a mí se me quedan cortas.
Simplemente no salgo de que, habiendo 365 fechas posibles en las que puede caer el cumpleaños de cualquiera, me sigue pareciendo demasiado «probable» que entre sólo 57 personas no llegue a haber dos cualesquiera que coincidan en su cumple. Y que la plena seguridad de que eso se diera habría de ser un grupo de 366 personas, dado que en el más peorcísimo de los casos podría llegar a haber hasta 365 que no coincidieran… No sé. Tendrás razón, pero me temo que a mí se me sigue escapando. Veo los números llanos, pero no las razones de la estadística que tú expones…
¡Y ya me sabe mal, ya! ¡Que con esto quedo yo aquí en evidencia!… En fin…
Saludos.
Kurrupypy
3/01/26 05:46
@Alexis
No, por Dios, ¿cómo vas a quedar en evidencia? Es que son problemas difícil de verlos correctamente. Por eso son «famosos».
Repito, que el asunto no es pensar que si, por ejemplo, yo llego a la fiesta, mi cumpleaños coincida con alguno de los presentes, sino que haya una PAREJA entre los presentes cuyos cumpleaños coincidan
Pensemos en un grupo de sólo 5 personas, entre las que yo me encuentro. La probabilidad de que mi cumpleaños coincida con el de otro sería 4/365 (cuatro fechas de cumpleaños de las otras personas). Estoy comparando 1 persona (fecha) con las otras 4. Digamos que aquí estaría comparando A (que soy yo) con B, A con C, A con D y A con E. Hago 4 comparaciones
Pero eso no es lo que pide el problema. O, mejor dicho, no es lo único que me pide. El problema dice que dos personas CUALESQUIERA coincidan. Así que, tengo que comparar entre todas las PAREJAS que se forman a ver si coinciden. A con B, A con C, B con C, C con D….Con 5 personas se forman 10 parejas. Así que, aquí ya estoy haciendo 10 comparaciones para buscar coincidencia, por lo que las probabilidades son mayores
Pensando en un grupo de 23 personas, las posibles parejas que se forman son nada menos que 253, es decir, hago 253 comparaciones de cumpleaños, lo que da un 50.7% de probabilidades de coincidencia.
Y con un grupo de 57, salen nada menos que 1596 parejas para comparar, lo que da un 99 y pico % de probabilidades. Es decir, no te quedes con que hay 57 fechas entre 365 posibles (aunque sea verdad), sino que cada una de esas fechas la comparas con las otras 56. Son 1596 comparaciones….
Lo único que no pongo es cómo se calculan esas probabilidades, pero lo importante es que pilles la idea, aunque no estoy seguro de haberme explicado bien…
Ya la próxima explicación no será gratis
. Aunque sea me pagas durante un mes: 1 céntimo el día 1, 2 céntimos el día 2, 4 el día 3,…cada día el doble que el anterior. Me conformo con poco
Alexis
4/01/26 04:58
@ Kurrupypy:
Gracias. Lo has explicado muy bien (casi como para parvulitos, lo cual me ha venido bien a mí). Me quedo con la idea y con lo explicado…
… Y… Sin embargo…
Pues que me sigue sonando «diferente» a lo de las tres puertas, o a lo de la lotería.
Verás: Aquí yo sigo sin ver un verdadero aval probabilístico, sinó más bien una especie de falacia. Como de «paradoja eleática» o cosa semejante.
Una «verdadera» probabilidad del 100% debería quedar luego confirmada por un resultado positivo. Dado que es perfectamente factible reunir a 57 personas (y a bastantes más, hasta 365) sin que el cumple de ninguna coincida con el de ninguna otra, no veo cómo ese arduo ejercicio de emparejamientos y contrastaciones puede contrarrestar el % de probabilidad (sea el que sea) de que se dé esa falta de coincidencia. Ese supuesto 100% de probabilidad quedará desmentido, si es el caso, por esa falta real de coincidencia… Vamos, que la supuesta probabilística de aquí me suena a constructo engañoso.
Kurrupypy dijo:
¡Pero es que és verdad! Aquí no se tiene en cuenta ningún primer cálculo (entiendo yo que «necesario») de probabilidad de que se pueda NO dar ninguna coincidencia, dentro de un grupo relativamente reducido de personas. Como para que después, todo ese juego de comparativas una por una, se saque de la manga que la cantidad de posibles emparejamientos sea equivalente a un incremento exponencial de posibilidades de coincidencia. No veo que nada de eso pueda pasar por encima de ese % de probabilidad de que NO haya coincidencia alguna ya de entrada, como para pretender llegar hasta un 100% de que sí.
Lo siento, pero así me sigue sonando a mí…
Por otro lado, y yendo ya a otra cosa, recuerdo el cuento escenificado, visto en algún programa infantil o juvenil de la tele hace muchísimos años, sobre el tipo que inventó el juego del ajedrez.
Según aquella versión del cuento, el fulano era un mendigo o un pobretón sin donde caerse muerto ni nada, pero se había inventado aquel juego, que llegó hasta el Sultán (o Emir, o Visir, o lo que fuera. Cosa oriental y de turbante en cualquier caso) y que le dejó fascinado.
El mandatario mandó llamar al pobretón para recompensarle por haber ideado tan ingenioso y fascinante juego. Le dijo que le pidiera lo que quisiera. Y el tipo le dijo que sólo queria un grano de trigo (o del cereal que fuera) por la primera casilla del tablero de ajedrez, dos por la segunda, cuatro por la tercera… Y así hasta el cómputo total que saliera en la última casilla… El consejero del reino (un tío con bastante más coco que su superior) se llevó las manos a la cabeza al enterarse de que el mandatario había accedido a concederle aquella recompensa al listillo. Le empezó a poner números delante y no veas el trigo que salía al final. ¡Más del que podían producir todos los campos del reino en un año! O alguna burrada semejante.
El cuento, en esa versión que yo recuerdo, lo resolvía el consejero en plan «tú llama al tipo este y déjame hablar a mí»… Le dijo que el mandatario le concedía lo pedido, pero con una pequeña condición: «Te acompañaremos a los graneros reales y allí, para que no haya dudas sobre la cantidad ni posibilidad de engaño sobre el número de granos que has pedido ¡Los cuentas tú mismo!»
Y colorín colorado…
Saludos.
Kurrupypy
4/01/26 20:04
@ALEXIS
Veo que sabes de qué iba lo del pago que te dije
. Efectivamente, es el mismo principio que la leyenda de la invención del ajedrez. En aquella, hice un cálculo hace un par de años o así, teniendo en cuenta lo que, de media pueden pesar los granos y, agárrate a la silla: Salía más o menos LA PRODUCCIÓN MUNDIAL EN 1000 AÑOS (tomando como base la de hace unos años) 
Y en cuanto a lo del pago, pues en 30 días sale la friolera de unos 10 millones de euros…
Lo dicho, las mates son sorprendentes y fascinantes
En cuanto al problema de marras del cumpleaños, claro que no es el mismo principio que el de Monty Hall y el de la lotería. Sí, es una especie de paradoja. Pero los cálculos y más explicaciones, huelga decir que los puedes consultar en la red
¿Que puedes juntar incluso a 365 sin que coincidan ninguno? Claro (extremadamente improbable, pero posible). Y hasta 366
. Igual que en 57 te puedes encontrar a 8 que coincidan… 
. SIGUE SIENDO UNA CUESTIÓN DE PROBABILIDADES. NO SALEN DE LA MANGA
Como sabrás, pero por si acaso lo pongo, las probabilidades de que se dé un suceso se calculan dividiendo los casos favorables entre los casos posibles P=CF/CP. Cuando la probabilidad es total, o sea del 100%, este cociente da 1. Claro, porque los casos que favorecerían lo que yo estoy buscando son todos los posibles. Si la probabilidad fuera imposible, entonces es 0. Un 0.5 en ese cociente, por tanto, equivaldría al 50%
He visto varios vídeos calculando las probabilidades del problema, y en todos hacen lo siguiente: Restan la probabilidad total (1), de la probabilidad de que no hubiera ninguna coincidencia. El resto será la probabilidad de que coincidan. Aquí tienes dos calculando el número de personas necesario para que la probabilidad sea al menos de un 50%, que ya sabemos que son 23. Son más o menos lo mismo
https://youtu.be/8eNbaZIx0YQ
https://youtu.be/RnTexP9HMMA
Kurrupypy
4/01/26 20:21
Ya no puedo editar…
Cuando digo probabilidad total, me refiero a probabilidad plena, o sea del 100%, que en el caso de la fórmula sería 1
Alexis
5/01/26 05:14
Kurrupypy dijo:
¡Haalaaaaa!… No me acuerdo bien del todo de la versión del cuento aquella que vi yo, pero no sé si decían tanto… Puede ser, de todos modos, (aunque aquí tú dices algo sobre el «peso», y ahí no recuerdo que se mencionara otra cosa que el «número» de granos)… Sí que me acuerdo de que el consejero le decía al mandatario que sólo a la mitad del tablero ya salía el equivalente a unos (creo) 28 graneros repletos hasta arriba. Y el mandatario (que aún no había pillado del todo la magnitud de la cuestión) decía: «Pues si eso es a la mitad del tablero, le damos el doble de eso. Digamos que unos 50 graneros llenos». Naturalmente el consejero le replicaba: «¡Pero es que el doble sólo corresponde a la siguiente casilla! No a todo lo que queda de ahí en adelante hasta el final del tablero»… En fin. No me acuerdo, ya digo, de qué burrada daba el cálculo final…
Respecto a la otra cuestión, más «principal»:
Kurrupypy dijo:
Ahí está la cosa. Lo que me pierde a mí, por lo que veo, es precisamente que no se aplique el mismo principio para esto. Seguramente este problemilla pretende ilustrar sobre algún otro aspecto diferente de todo esto de la probabilística y los entresijos de sus calculamientos, pero lo que me sugiere a mí es justamente el tener en cuenta las enseñanzas (que acabábamos de dejar tan bien sentadas) del juego de las tres puertas:
– En las tres puertas hay que tener en cuenta que la mayor probabilidad en contra, arrastrada desde la primera decisión, no se corrige ya con el siguiente movimiento del juego.
– Aquí lo que yo veo es que igualmente no se habría de poder obviar (despreciar, ignorar…) que para cualquier grupo inferior (o incluso igual) a 365 personas, ya viene dado de entrada tal o cual grado de probabilidad, ineludible, de que NO se dé coincidenca alguna. Y que eso ya no dejará de estar ahí, condicionando todo cálculo posterior.
– En las tres puertas, la probabilidad no se convierte en un 50% contra un 50% con el segundo movimiento del juego, porque se sigue arrastrando la probabilidad a la contra de la primera decisión.
– Y aquí tampoco debería poder salir ningún cálculo que diera un 100% de probabilidades de que sí, si antes y por encima de eso ya viene dado ese tal o cual grado de probabilidad de que no.
Llegados a este punto (en que creo que ya me repito, aunque expresándolo de manera diferente al comentario anterior) tengo que decir que tú quizá ahora no puedas «editar», pero que yo ya hace años (¡y hasta décadas!) que aquí donde estoy he venido manejando un dispositivo y un sistema operativo, tan, tan, ¡pero tan! obsoletos ahora mismo, que actualmente el navegador ya no me entra ni en Youtube (y parece un milagro que me pueda meter aún así en este sitio donde estamos).
Lo digo porque, lo de poder visionar los vídeos que me enlazas, se me va a quedar colgado y pendiente. Y me lamento por ello. Que igual pillaba yo ahí algo más sobre por dónde van realmente los tiros en este caso (aparte de tus explicaciones, claro, pero que tampoca consiguen desdecirme de mi punto de vista).
En fin… Saludos.
Kurrupypy
5/01/26 21:05
Lo del peso (bueno, masa) de los granos lo busqué yo simplemente para estimar más o menos la masa en total que suponía, ya que, claro, el resultado son número de granos. En la misma Wikipedia está ese cálculo hecho, que lo miré ayer, y ahí pone, creo recordar, la cosecha mundial de 1195 años…… XDDDDDD
En lo otro pues casi ya que me rindo… Intenta ver esos videos u otros similares que hay
Aunque quizá no me expliqué bien sobre los cálculos. Vi otro vídeo donde quizá lo explican un poco mejor:
A ver, sólo hay dos opciones: O hay coincidencia de cumpleaños o no la hay.
Suponiendo n personas, llamemos A(n) a la probabilidad de que haya coincidencia, y B(n) a la probabilidad de que no la haya. Por tanto, la suma de ambas dará, lógicamente, el 100%. Es decir, dará 1 según la fórmula
A(n) + B(n) = 1
Según dicen, es más fácil calcular la probabilidad de que no haya coincidencia. Una vez calculada esta, pues despejando, ya tendríamos la probabilidad de que haya coincidencia
A(n)= 1 – B(n) , que para n=23 da 0.507, es decir, un 50.7%
Ya el detalle de los cálculos los puedes ver en los vídeos
Alexis
6/01/26 04:38
Kurrupypy dijo:
Sí, bueno… Ya te dije que en realidad yo soy bastante espeso para estas cosas. ¡Qué mal me sabe que se demuestre que tengo razón sobre mí mismo en estos casos!
No sé… A ver si en algún otro momento, desde algún otro aparato, acabo pudiendo ver esos vídeos… No sé cómo ni cuándo…
¡Felices Reyes!
Kurrupypy
6/01/26 10:36
Alexis dijo:
Que no, hombre, no es que seas espeso, ES QUE ES BASTANTE DIFÍCIL DE PILLAR. Al contrario, le das muy bien al coco y te haces preguntas lógicas. Y esto no lo digo por simple cortesía ni nada
Hay uno prácticamente igual al de la lotería, al que le estuve dando mil vueltas a la cabeza e incluso volví a ello hace poco tiempo mentalmente porque no me convencía. O sea, que fíjate…
Felices reyes