La más asombrosa demostración matemática que nunca hubieras podido imaginar
Si te digo que el resultado de sumar los infinitos números naturales no da infinito, sino que da como resultado un número real, y encima negativo, seguramente pensaréis que debo dejar de escribir a estas horas de la noche y con un cubata al lado. Pero sin embargo es cierto. La fórmula
no solo es demostrable, sino que es de especial trascendencia en la teoría cuántica de campos, y en la teoría de cuerdas.
Si no lo habéis visto todavía, no os perdáis el vídeo. Tiene subtítulos en español. Si no aparecen automáticamente, seleccionar «Español» en la opción de subtítulos de youtube (a la izquierda de la ruedecita dentada).
22/4/2014
En los comentarios ha habido debate en relación al cálculo del resultado de la serie
$latex S_{1} = 1 + 2 + 3 + 4 + … $
En el vídeo, se ha tratado de primar en la simplicidad de la demostración para que sea accesible al mayor número de personas posibles. Pero se pueden obtener esos valores de otras maneras más sofisticadas.
La serie siguiente, es convergente y se cumple para todos los valores de x comprendidos entre -1 y 1, ambos no inclusive.
$latex 1 + x + x^{2} + x^{3} + x^{4} + … = \frac {1}{(1-x)}$
Los puntos 1 y -1 son puntos de singularidad. Al sustituir la x por un 1, la parte de la derecha de la igualdad es una división entre 0 que da como resultado infinito. Pero en el punto infinitamente próximo al 1, por el lado del 0, la igualdad se cumple. A medida que x sobrepasa el valor 1, la serie se hace divergente y deja de ser válida.
Lo mismo pasa por la izquierda. En el punto infinitamente próximo al -1 por el lado cercano al 0, la igualdad se cumple. Pero en este caso, al sustituir el valor de x por -1, el resultado no se dispara al infinito, sino que vale $latex \frac {1}{2}$.
Si observamos, vemos que la serie se ha convertido en la $latex S_{1}$ del vídeo.
$latex S_{1} = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – … = \frac {1}{2}$
En este caso la singularidad no se produce por dispararse al infinito, sino por entrar en una indefinición. Realmente puede valer, 1 o 0. Pero el punto infinitamente próximo a -1, estaba infinitamente próximo a $latex \frac {1}{2}$.
Ahora bien, si derivamos a ambos lados de la igualdad, obtenemos que:
$latex \frac{\partial}{\partial x} ( 1 + x + x^{2} + x^{3} + x^{4} + … ) = \frac{\partial}{\partial x} \frac {1}{(1-x)} $
$latex 1 + 2x + 3x^{2} + 4x^{3} + 5x^{4} + … = \frac {1}{(1-x)^{2}} $
Y si sustituimos ahora x por -1, obtenemos el resultado de la serie $latex S_{2}$ del vídeo
$latex S_{2}$ $latex = 1 – 2 + 3 – 4 + 5 … = \frac{1}{4}$
Y el resto de la demostración sería igual que en el vídeo.
Someone
26/04/15 11:34
@ alemap:
Sin embargo, la traslabilidad de una serie infinita no es algo que se pueda suponer desde un principio, hay que demostrarla. Un ejemplo es el siguiente:
1/(1+x)=1-x+x^2-x^3+x^4+…. Y si sustituimos x=1 obtenemos 1/2=1-1+1-1+…
pero si hacemos
(1-x^n)/(1-x^m)=1-x^m+x^n-x^(n+m)+x^(2n)+… Y si sustituimos x=1 lo que obtenemos es la misma serie pero separada por ceros: para n<m n/m=1+ (n-1 ceros) -1 +(m-n-1 ceros) +1 +…
Que está relacionado con el problema que comentaba Sahumerio en la página anterior y con el “teorema de reordenación de Riemann”.
Eso…. Es un poco complicado de explicar, pero voy a intentarlo. La idea es que en una teoría clásica toda simetría que tenga un sistema físico se traduce en una cantidad conservada (por ejemplo, si tenemos un sistema que con simetría cilíndrica, como una peonza, eso implica que el momento angular respecto a su eje principal estará conservado, es decir, que con cambiará con el tiempo).
El problema es que aunque una cantidad esté conservada en la teoría clásica de partida, no implica que esté conservada en la teoría cuántica. Cuando ocurre eso se dice que esa simetría es anómala o que la teoría tiene una anomalía.
Para teoría de cuerdas la simetría que es anómala es la llamada «invariancia de escala», es decir, que la teoría es igual sin importar la longitud de las cuerdas (en concreto, bajo la transformación x -> (constante)*x). Sin embargo nos gustaría que esa simetría no fuera anómala (por razones en las que no voy a entrar). Y cuando uno procede al cálculo de esa «anomalía», uno se encuentra con que ha de calcular (D/2 -1)*(1+2+3+4+…). Ahí es donde aparece el -1/12.
Espero que se haya entendido la explicación.
alemap
27/04/15 00:13
@ Someone:
Gracias por la explicación, intento captar un poco los conceptos,
Conosco de la teoría de cuerdas lo mismo que pueda conocer de una leyenda que me han contado de un tal Thor que luchó contra los dinosaurios y Ulises .
No voy a entrar en los gustos de cada uno ni en las anomalías de cada uno :), es broma
Intentaré conocer mas sobre este tema, cualquier información es buena si poco a poco va aclarando otras ideas.
Sahumerio
27/04/15 16:02
Por mi parte, después de ver la tónica de los comentarios a la demostración en el video y en otros foros, de mis propias dudas -esten mal o bien razonadas- y de toparme con la suma de Ramanujan, la regularización de funciones o la continuación analítica, lo dejo por falta de conocimientos y tiempo que dedicarle y me quedo con la impresión de que la demostración es cuanto menos, cuestionable, aunque se llegue al resultado deseado (que si será correctamente alcanzable de otras formas).
Ahora bien, decir que ese resultado sea «1+2+3+4+…=-1/12» me parece, creo que coincidiendo con HaLoHuBaMa y quizás con Someone, puro sensacionalismo periodístico y una alteración de la naturaleza de los cálculos que se realizan e igual que no se puede decir alegremente que «la suma 1-1+1-1+… es 1/2» sino que se debería decir que «la suma de Cesàro 1-1+1-1+…es 1/2», en pro de la corrección debería eliminarse ese sensacionalismo y darse al valor -1/12 el significado que le corresponda.
Por otra parte, gracias por vuestras respuestas.
Quizá intente enterderlo bien en el futuro.
Keto
6/05/15 10:53
En el mismo instante en que deciden que van a tomar el «promedio» de la suma de números infinita, ya puedes mandar a la basura este video.
RockselkZ
8/05/15 17:36
Euler fue uno de los primeros en trabajar con esa demostración. La primera vez que supe de eso fue gracias al excelente libro «El Camino a la Realidad» de Roger Penrose. Quién no lo haya leído aún se los recomiendo al 100%
EdgarGomez
17/06/15 20:59
Ciertamente es una suma de promedios por ello este valor es solo aplicable para campos de la ciencia que se basan en probabilidades, tal es el caso de la teoria de cuerdas. En resumidas cuentas 1+2+3+4… no es igual a -1/12 sino que el resultado de 1+2+3+4… tiene cierta probabilidad de ser -1/12.
Tru
11/04/20 17:07
Si te digo que el resultado de sumar los infinitos números naturales no da infinito, sino que da como resultado un número real, y encima negativo, seguramente pensaréis que debo dejar de escribir a estas horas de la noche y con un cubata al lado. Pero sin embargo es cierto.
Pues evidentemente no.
La función Z(s) de Rieman para s=-1 si es =-(1/12), que no es lo mismo.
La función Z(s) de Rieman es la extensión analítica a todos los números complejos de la sucesión S(s)= 1 + (1/2)^s + (1/3)^s +…definida para los complejos cuya parte real sea mayor que 1.
Para s=-1, la sucesión S(s)= 1 + (1/2)^s + (1/3)^s +…= 1+2+3+4+…
Pero Z(s) No es = a S(s) para valores negativos o inferiores a 1.
-(1/12) es el valor de Z(-1), no de 1+2+3+4+…; la relación, a partir del minuto 10:30: se pueden relacionar con la suma de Cesaro y la función ETA de Dirichlet que es una función prima de la función de Rieman.
https://www.youtube.com/watch?v=HbDZj0eX9C0
P.S.: por si alguien quiere ver a ETA en las sombra, este es un buen ejemplo.
Tru
12/04/20 11:08
Tru dijo:
Disculpen, como se inducía dos párrafos más arriba, debe decir:
Pero Z(s) No es = a S(s) para valores inferiores o iguales a 1.